Największa liczba to pojęcie, które od zawsze rozbudza wyobraźnię. Wydaje się, że wystarczy policzyć do końca, by ją znaleźć, ale matematyka szybko pokazuje, że sprawa jest znacznie bardziej skomplikowana. Zastanawiając się nad tym zagadnieniem, można naprawdę poczuć zawrót głowy – liczby rosną szybciej, niż jesteśmy w stanie sobie wyobrazić.
Spis treści
Największa liczba – czy taka w ogóle istnieje?
Pytanie o największą liczbę pojawia się już w dzieciństwie. Każdy próbował „przebić” kolegę, dodając do jego liczby jeszcze jeden. Matematyka pozwala powiększyć każdą liczbę o jeden, a potem znów i znów. W ten sposób powstaje nieskończony ciąg, w którym nie ma ostatniego elementu.
Nie istnieje więc jedna, absolutnie największa liczba. Zawsze można wskazać większą. Stąd pojęcie nieskończoności – nie jest ono liczbą, lecz ideą. Nieskończoność oznacza brak końca; nie da się jej zapisać jako konkretnej wartości. Matematycy używają tego pojęcia, by opisać zbiory bez granic, na przykład zbiór liczb naturalnych.
W codziennym życiu trudno wyobrazić sobie coś, co nie ma końca. W matematyce to jednak codzienność. Każda liczba, nawet największa, jaką potrafimy zapisać, jest tylko jednym z nieskończonej liczby możliwych.
Przykład: Liczysz do miliarda. Gdy tam dotrzesz, dodajesz jeszcze jeden i masz miliard jeden. I tak bez końca.
Liczby olbrzymie – googol, googolplex i inne potwory
Ludzkość od wieków próbowała nazwać i pojąć bezmiar liczb, tworząc pojęcia takie jak googol czy googolplex. Googol to jedynka i sto zer, a googolplex to jedynka i googol zer. Są to liczby o tak niewyobrażalnej wielkości, że nie sposób ich zapisać w całości – objętość całego obserwowalnego Wszechświata nie wystarczyłaby na pomieszczenie tylu cyfr.
Doskonale ilustrują, jak daleko wykraczają poza codzienne pojmowanie wielkości. Dla przykładu, googol przewyższa liczbę atomów w znanym Wszechświecie. Googolplex jest tak gigantyczny, że nawet gdyby każda cząsteczka materii we Wszechświecie reprezentowała zero, nie bylibyśmy w stanie go zapisać.
Jednak, w kwestii „największej liczby”, nawet googolplex nie stanowi żadnej granicy. Fundamentalna zasada matematyki mówi, że zawsze możemy dodać jeden i otrzymać liczbę jeszcze większą. To sprawia, że lista liczb naturalnych jest nieskończona, a pojęcie „największej liczby” – w sensie skończonej wartości, której nie da się powiększyć – po prostu nie istnieje. Inne liczby, jak centylion czy biliard biliardów, również nie zamykają tego nieskończonego szeregu, co wyraźnie dowodzi, że w wielkości liczb nie ma absolutnej granicy.
Poniżej przedstawiono porównanie wybranych liczb, aby uzmysłowić ich skalę:
| Nazwa | Zapis liczbowy (uproszczony) | Liczba zer |
|---|---|---|
| Miliard | 1 000 000 000 | 9 |
| Googol | 1 + 100 zer | 100 |
| Googolplex | 1 + googol zer | googol |
Największa liczba używana w matematyce – Graham’s number
W matematyce istnieją liczby tak wielkie, że ich tradycyjny zapis jest niemożliwy. Graham’s number to przykład takiej liczby, która powstała w ramach poważnych badań kombinatorycznych. Jej skala przekracza wszystko, co można sobie wyobrazić – nawet googolplex jest przy niej maleństwem.
Matematycy wprowadzili Graham’s number w związku z konkretnym problemem kombinatorycznym. Jej zapis wymaga specjalnej notacji, ponieważ liczba zer w tej liczbie jest większa niż liczba atomów we Wszechświecie. Do jej opisania używają tzw. notacji strzałkowej Knutha, a pełne zrozumienie jej skali wykracza poza ludzkie pojmowanie.
Zapis Graham’s number wygląda następująco: zamiast tradycyjnego zapisu stosuje się notację z wieloma strzałkami, np. 3↑↑↑↑3. Każda kolejna strzałka oznacza potęgowanie na wyższym poziomie, a Graham’s number to ciąg takich operacji, powtarzanych wielokrotnie.
Nieskończoność – liczba czy pojęcie matematyczne?
Nieskończoność często pojawia się w rozmowach o największej liczbie. W matematyce nie jest jednak liczbą, lecz pojęciem. Oznacza brak końca, a nie konkretną wartość. Matematycy rozróżniają różne rodzaje nieskończoności, na przykład alef-zero (najmniejsza nieskończoność, liczba elementów w zbiorze liczb naturalnych) czy continuum (liczba punktów na prostej).
Dlatego nieskończoność nie jest największą liczbą. To raczej sposób opisu zbiorów, które nie mają końca. W matematyce istnieją nawet różne „wielkości” nieskończoności – niektóre zbiory są większe od innych, choć oba są nieskończone.
Rodzaje nieskończoności:
- Alef-zero – liczba elementów w zbiorze liczb naturalnych.
- Continuum – liczba punktów na prostej liczbowej.
- Nieskończoność w analizie matematycznej – granice, które nie mają końca.
Nieskończoność nie jest liczbą, której można używać w codziennych obliczeniach. Próba traktowania jej jak zwykłej liczby prowadzi do błędów i paradoksów.
Największa liczba nie istnieje w sensie ścisłym. Każdą można powiększyć, a matematyka zna liczby większe, niż jesteśmy w stanie sobie wyobrazić. Jednak nawet one bledną przy pojęciu nieskończoności, która pozostaje ideą, a nie konkretną wartością.
